Question

【题目】已知函数且.

（1）讨论函数的极值；

（2）若，求函数在区间上的最值.

Answer 1

【答案】（1）当时，极大值，不存在极小值；当时，极小值，不存在极大值；

（2）当时，最大值为，最小值为；

当时，最大值为，最小值为；

当时，最大值为，最小值为；

当时，最大值为，最小值为；

当时，最大值为，最小值为.

【解析】

（1）对函数求导，利用导数分类研究函数的单调性，进而得到极值．

（2）对a分类讨论，分别研究极值点与区间端点的关系，利用导数研究函数单调性极值与最值，即可得出结论．

（1）因为，

所以，

讨论：

当时，令，得，令，得，

所以当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，

所以当时，函数存在极大值，不存在极小值

当时，令，得，令，得，

所以当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以当时，函数存在极小值，不存在极大值.

（2）据（1）求解知，当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

讨论：

当，即时，函数在区间上单调递减，

所以函数在区间上的最大值，最小值；

当，即时，函数在区间上单调递增，

所以函数在区间上的最大值，最小值；

当，即时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以函数在区间上的最小值，最大值为与的较大者.

下面比较与的大小：

令，得，化简得，

所以或.

又，

所以，

所以当时，，函数在区间上的最大值；

所以当时，，函数在区间上的最大值；

所以当时，，函数在区间上的最大值；

综上，当时，函数在区间上的最大值为，最小值为；

当时，函数在区间上的最大值为，最小值为；

当时，函数在区间上的最大值为，最小值为；

当时，函数在区间上的最大值为，最小值为；

当时，函数在区间上的最大值为，最小值为.