题目内容

已知：数列为： $数学公式$ …则a₂₀₁₂=________．

$\text{[math]}$
分析：将题中数列按“三角形数阵”排列，发现第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数，依此类推第k行有k个数．因此，解不等式1+2+…+k≥2012，找到满足条件的最小正整数63，说明a₂₀₁₂在第63行，再根据第63行第63个数得到a₂₀₁₂是63行第59个数，最后根据已知数列的排列规律，得到a₂₀₁₂的值．
解答：将题中数列按“三角形数阵”排列，得
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
…
由此得到第k行的排列： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （k∈Z）
假设a₂₀₁₂在第k行，则k是满足1+2+…+k≥2012的最小正整数
即 $\text{[math]}$ ≥2012，可得满足条件的最小正整数k=63
∴a₂₀₁₂在第63行，并且 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 是63行的第63个数，
因此，a₂₀₁₂是63行的倒数第5个，也是第59个数，可得a₂₀₁₂= $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$
点评：本题给出一个特殊数列，要求我们发现其中规律并写出该数列的第2012项，着重考查了等差数列的通项与求和、归纳推理的一般方法等知识，属于中档题．

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px+1

x+1

，若由函数f（x）确定的数列{a_n}的自反数列为{b_n}，求a_n；
（2）已知正整数列{c_n}的前项和s_n=

（c_n+

）．写出S_n表达式，并证明你的结论；
（3）在（1）和（2）的条件下，d₁=2，当n≥2时，设d_n=

-1

anSn2

，D_n是数列{d_n}的前n项和，且D_n＞log_a（1-2a）恒成立，求a的取值范围．

（2012•眉山二模）设a₁≤a₂≤…≤a_n，b₁≤b₂≤…≤b_n为两组实数，c₁，c₂，…，c_n是b₁，b₂，…，b_n的任一排列，我们称S=a₁c₁+a₂c₂+a₃c₃+…+a_nc_n为两组实数的乱序和，S₁=a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+…+a_nb₁为反序和，S₂=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n 为顺序和．根据排序原理有：S₁≤S≤S₂即：反序和≤乱序和≤顺序和．给出下列命题：
①数组（2，4，6，8）和（1，3，5，7）的反序和为60；
②若A=

+…+

，B=x₁x₂+x₂x₃+…+x_n-1x_n+x_nx₁其中x₁，x₂，…x_n都是正数，则A≤B；
③设正实数a₁，a₂，a₃的任一排列为c₁，c₂，c₃则

的最小值为3；
④已知正实数x₁，x₂，…，x_n满足x₁+x₂+…+x_n=P，P为定值，则F=

由函数y=f（x）确定数列{a_n}，a_n=f（n），函数y=f（x）的反函数y="f" ^－1（x）能确定数列{b_n}，b_n=" f" ^–1（n），若对于任意nÎN^*，都有b_n=a_n，则称数列{b_n}是数列{a_n}的“自反数列”.
（1）若函数f（x）=确定数列{a_n}的自反数列为{b_n}，求a_n；
（2）已知正数数列{c_n}的前n项之和S_n=（c_n+）.写出S_n表达式，并证明你的结论；
（3）在（1）和（2）的条件下，d₁=2，当n≥2时，设d_n=，D_n是数列{d_n}的前n项之和，且D_n>log_a（1－2a）恒成立，求a的取值范围.