Question

（2013•海口二模）正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱线长为1，面对角线B₁D₁上有两个动点E，F，且EF=

2

2

，则下列四个结论中①AC⊥BE ②EF∥平面ABCD ③三棱锥A-BEF的体积为定值 ④异面直线AE，BF所成的角为定值，其中正确的个数是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根据线面垂直的判定与性质，可证出AC⊥BE得①正确；根据正方体的定义结合面面平行的性质，可得EF∥平面ABCD，得②正确；根据正方体的性质，可算出△BEF的面积与点A到平面BEF的距离都等于常数，从而得到三棱锥A-BEF的体积为定值，故③正确；在平面BB₁D₁D中作EH∥BF交B₁B于H，连结AH，可得∠AEH（或其补角）等于异面直线AE、BF所成的角．观察图形的变化可得异面直线AE、BF所成的角不是定值，故④不正确．由此可得本题的答案．

解答：解：对于①，因为正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁⊥平面ABCD，
所以BB₁⊥AC，结合AC⊥BD，得到AC⊥平面BB₁D₁D
由于BE?平面平面BB₁D₁D，从而得到AC⊥BE，故①正确；
对于②，因为正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，
且EF?平面A₁B₁C₁D₁，结合面面平行的性质可得EF∥平面ABCD，
由此可得②正确；
对于③，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的对角面BB₁D₁D中，
△BEF的面积S=

1

4

SBB1D1D=

2

4

又∵点A到平面BEF的距离为

1

2

AC=

2

2

∴三棱锥A-BEF的体积为V=

1

3

×

2

4

×

2

2

=

1

12

（定理）
由此可得③正确；
对于④，平面BB₁D₁D中作EH∥BF交B₁B于H，连结AH，
则∠AEH（或其补角）等于异面直线AE、BF所成的角
随着EF在B₁D₁上运动，△AEH的形状在不断地改变，从而得到∠AEH的大小不等于定值
因此异面直线AE、BF所成的角不为定值，故④不正确．
综上所述，正确的命题是①②③，共3个
故选：C

点评：本题给出正方体中的几个命题，要求我们找出其中的真命题．着重考查了正方体的性质、线面垂直的判定与性质和面面平行的性质、三棱锥的体积公式和异面直线所成角的定义等知识，属于中档题．