题目内容

函数 $数学公式$ 的图象上一个最高点的坐标为 $数学公式$ ，与之相邻的一个最低点的坐标为 $数学公式$ ．
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）当 $数学公式$ ，求函数f（x）的单调递增区间和零点．

解：（Ⅰ）依题意的 $\text{[math]}$ ，所以T=π，于是 $\text{[math]}$ （2分）
由 $\text{[math]}$ 解得 $\text{[math]}$ （4分）
把 $\text{[math]}$ 代入f（x）=2sin（2x+φ）+1，可得 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ，因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$
综上所述， $\text{[math]}$ （7分）
（Ⅱ）令f（x）=0，得 $\text{[math]}$ ，又∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$ 故 $\text{[math]}$ 函数f（x）的零点是 $\text{[math]}$ （10分）
∵ $\text{[math]}$ ∴由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ∴函数f（x）的单调递增区间是 $\text{[math]}$ （13分）
分析：（I）由已知中函数 $\text{[math]}$ 的图象上一个最高点的坐标为 $\text{[math]}$ ，与之相邻的一个最低点的坐标为 $\text{[math]}$ ．我们可根据两个最值点的纵坐标求出A，B的值，根据横坐标求出周期T，进而得到ω及φ的值，从而求出求f（x）的表达式；
（Ⅱ）根据由（1）的结论，及正弦型函数单调区间的求法，及零点的定义，我们易得到结论．
点评：本题考查的知识点是由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦型函数的性质及函数的零点，其中根据已知中的条件求出函数 $\text{[math]}$ 的解析式，是解答本题的关键．