Question

已知双曲线的左、右顶点分别为A₁，A₂，点P（x₁，y₁），Q（x₁，-y₁）是双曲线上不同的两个动点．
（1）求直线A₁P与A₂Q交点的轨迹E的方程；
（2）若过点H（0，h）（h＞1）的两条直线l₁和l₂与轨迹E都只有一个交点，且l₁⊥l₂，求h的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先确定直线A₁P与A₂Q的方程；再联立方程组解之（相乘处理）；最后利用点P（x₁，y₁）在双曲线上，消去参数x₁、y₁（整体消元）求出轨迹E的方程；
（2）先由l₁⊥l₂设出两直线方程；再分别与椭圆方程联立，根据只有一个交点（即△=0）得出k、h的两个方程；最后解出h的值．
解答：解：（1）由A₁，A₂为双曲线的左右顶点知，，
则，，
两式相乘得，
因为点P（x₁，y₁）在双曲线上，所以，即，
所以，即，
故直线A₁P与A₂Q交点的轨迹E的方程为．（x≠，x≠0）
（2）设l₁：y=kx+h（k＞0），则由l₁⊥l₂知，．
将l₁：y=kx+h代入得，
即（1+2k²）x²+4khx+2h²-2=0，
若l₁与椭圆相切，则△=16k²h²-4（1+2k²）（2h²-2）=0，即1+2k²=h²；
同理若l₂与椭圆相切，则．
由l₁与l₂与轨迹E都只有一个交点包含以下四种情况：
[1]直线l₁与l₂都与椭圆相切，即1+2k²=h²，且，消去h²得，即k²=1，
从而h²=1+2k²=3，即；
[2]直线l₁过点，而l₂与椭圆相切，此时，，解得；
[3]直线l₂过点，而l₁与椭圆相切，此时，1+2k²=h²，解得；
[4]直线l₁过点，而直线l₂过点，此时，，∴．
综上所述，h的值为．
点评：本题综合考查直线与圆锥曲线的位置关系及点的轨迹方程求法；同时考查方程思想、运算能力等．