按照如下的规律构造数表:第一行是:2,第二行是:2+1.2+3:即3.5,第三行是:3+1.3+3.5+1.5+3.即:4.6.6.8.-(即从第二行起将上一行的数的每一项各加1写出.再各项再加3写出).若第n行所有的项的和为an,23 54 6 6 85 7 7 9 7 9 9 11 -(1)求a3.a4.a5,(2)试写出an+1与an的递推关系.并据此� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．按照如下的规律构造数表：
第一行是：2；
第二行是：2+1，2+3：即3，5；
第三行是：3+1，3+3，5+1，5+3，即：4，6，6，8，
…
（即从第二行起将上一行的数的每一项各加1写出，再各项再加3写出），若第n行所有的项的和为a_n；
2
3 5
4 6 6 8
5 7 7 9 7 9 9 11
…
（1）求a₃，a₄，a₅；
（2）试写出a_n+1与a_n的递推关系，并据此求出数列{a_n}的通项公式；
（3）设S_n=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{{a}_{4}}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$（n∈N^*），求S_n和$\underset{lim}{n→∞}$S_n的值．

分析（1）直接代入计算即可；
（2）通过观察可知a_n+1=2a_n+（1+3）•2^n-1，进而两边同时除以2ⁿ⁺¹，整理可得数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是首项、公差均为1的等差数列，计算即得结论；
（3）通过（2）裂项可知$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=4[$\frac{1}{n•{2}^{n}}$-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n+1}}$]，进而并项相加即得结论．

解答解：（1）依题意，a₃=4+6+6+8=24，
a₄=5+7+7+9+7+9+9+11=64，
a₅=6+8+8+10+8+10+10+12+8+10+10+12+10+12+12+14=160；
（2）∵从第二行起将上一行的数的每一项各加1写出，再各项再加3写出，
∴a_n+1=2a_n+（1+3）•2^n-1，即a_n+1=2a_n+2ⁿ⁺¹，
两边同时除以2ⁿ⁺¹，得：$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$+1，
又∵$\frac{{a}_{1}}{{2}^{1}}$=1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=n，即a_n=n•2ⁿ；
（3）由（2）可知$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{（n+2）•{2}^{n+2}}{n（n+1）•{2}^{n}•{2}^{n+1}}$=4[$\frac{1}{n•{2}^{n}}$-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n+1}}$]，
∴S_n=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{{a}_{4}}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$
=4[$\frac{1}{1•{2}^{1}}$-$\frac{1}{2•{2}^{2}}$+$\frac{1}{2•{2}^{2}}$-$\frac{1}{3•{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{n•{2}^{n}}$-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n+1}}$]
=4[$\frac{1}{1•{2}^{1}}$-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n+1}}$]
=2-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n-1}}$（n∈N^*），
∴$\underset{lim}{n→∞}$S_n=$\underset{lim}{n→∞}$[2-$\frac{1}{（n+1）•{2}^{n-1}}$]=2．