Question

试证：不论正数a，b，c是等差数列还是等比数列，当n＞1，n∈N且a，b，c互不相等时，都有aⁿ+cⁿ＞2bⁿ．（n∈N）．

Answer 1

证明 （1）设a、b、c为等比数列，a=，c=bq（q＞0且q≠1）
∴aⁿ+cⁿ=+bⁿqⁿ=bⁿ（+qⁿ）＞2bⁿ

（2）设a、b、c为等差数列，
则2b=a+c猜想＞（n≥2且n∈N^*）
下面用数学归纳法证明
①当n=2时，由2（a²+c²）＞（a+c）²，∴
②设n=k时成立，即．
则当n=k+1时，（a^k+1+c^k+1+a^k+1+c^k+1）＞（a^k+1+c^k+1+a^k•c+c^k•a）=（a^k+c^k）（a+c）
＞（）^k•（）=（）^k+1
也就是说，等式对n=k+1也成立
由①②知，aⁿ+cⁿ＞2bⁿ对一切自然数n均成立
分析：首先题目要求证明不等式对等比数列或等差数列均成立，考虑到用数学归纳法证明，本题中使用到结论有 （a^k-c^k）（a-c）＞0恒成立（a、b、c为正数），从而a^k+1+c^k+1＞a^k•c+c^k•a．即可得到答案．
点评：本题主要考查数学归纳法证明不等式，等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤．属于综合性试题有一定的难度．