Question

试证：不论正数a，b，c是等差数列还是等比数列，当n＞1，n∈N且a，b，c互不相等时，都有aⁿ+cⁿ＞2bⁿ．（n∈N）．

Answer 1

证明 （1）设a、b、c为等比数列，a=

b

q

，c=bq（q＞0且q≠1）
∴aⁿ+cⁿ=

bn

qn

+bⁿqⁿ=bⁿ（

1

qn

+qⁿ）＞2bⁿ

（2）设a、b、c为等差数列，
则2b=a+c猜想

an+cn

2

＞(

a+c

2

)n（n≥2且n∈N^*）
下面用数学归纳法证明
①当n=2时，由2（a²+c²）＞（a+c）²，∴

a2+c2

2

＞(

a+c

2

)2
②设n=k时成立，即

ak+ck

2

＞(

a+c

2

)k．
则当n=k+1时，

ak+1+ck+1

2

=

1

4

（a^k+1+c^k+1+a^k+1+c^k+1）＞

1

4

（a^k+1+c^k+1+a^k•c+c^k•a）=

1

4

（a^k+c^k）（a+c）
＞（

a+b

2

）^k•（

a+b

2

）=（

a+b

2

）^k+1
也就是说，等式对n=k+1也成立
由①②知，aⁿ+cⁿ＞2bⁿ对一切自然数n均成立