Question

已知椭圆=1．
（1）是否有这样的实数值m，使得此椭圆上存在两点关于直线y=2x+m对称？如果存在，求出m的值或取值范围；如果没有，试说明理由．
（2）若直线为y=kx+m，能使得此椭圆上存在两点关于直线y=kx+m对称的m的值的集合为M，要使M⊆（，），求k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）假设有这样的实数m满足条件，设直线y=2x+m与椭圆交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则有，即．①把点A、B坐标代入椭圆方程并相减可得．②由①②得．设AB的中点为M（x，y），则有，用m表示出x，y，根据点M在椭圆内部可得关于m的不等式，解出即可作出判断；
（2）由（1）可求得m的取值集合M，根据M⊆（，），可得关于m的不等式解出即可；
解答：解：（1）假设有这样的实数m满足条件，设直线y=2x+m与椭圆交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则有，即．①
又A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点在椭圆上，∴，．
两式相减并化简得+4=0．②
由①②得．
设AB的中点为M（x，y），则有，解之得．
但M（x，y）在椭圆内部，∴，解得．
∴存在实数使得椭圆上存在两点关于直线y=2x+m对称．
（2）由（1）知，即．①，．②
由①②得．可解得，
由，即．
∴，
要使，必有，解得．
k的取值范围为．
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系问题、对称问题，存在性问题往往先假设存在，然后根据条件去解，有解则存在，否则不存在；解决本题的关键是充分利用对称条件．