Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的图过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

分析：（1）由已知椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，可得：a+c=3，a-c=1，从而可求椭圆的标准方程；
（2）直线与椭圆方程联立，利用以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），结合根的判别式和根与系数的关系求解，即可求得结论．

解答：（1）解：由题意设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由已知椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，
可得：a+c=3，a-c=1，
∴a=2，c=1
∴b²=a²-c²=3
∴椭圆的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
联立

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，消去y可得（3+4k²）x²+8mkx+4（m²-3）=0，
则

△=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)=3+4k2-m2＞0 x1+x2=- 8mk 3+4k2 x1x2= 4(m2-3) 3+4k2

又y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=

3(m2-4k2)

3+4k2

因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），∴k_ADk_BD=-1，即

y1

x1-2

•

y2

x2-2

=-1
∴y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0，∴

3(m2-4k2)

3+4k2

+

4(m2-3)

3+k2

+

16mk

3+4k2

+4=0
∴7m²+16mk+4k²=0
解得：m1=-2k，m2=-

2k

7

，且均满足3+4k²-m²＞0
当m₁=-2k时，l的方程y=k（x-2），直线过点（2，0），与已知矛盾；
当m2=-

2k

7

时，l的方程为y=k(x-

2

7

)，直线过定点(

2

7

，0)
所以，直线l过定点，定点坐标为(

2

7

，0)

点评：本题考查椭圆的性质及应用，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，综合性强，属于中档题．