Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，D为AB中点，
（1）求证：AC⊥BC₁；
（2）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（3）求二面角C₁-AB-C的余弦值。

Answer 1

解：（Ⅰ）在直三棱柱中，CC1⊥底面ABC， BC1在底面上的射影为CB， 由AC=3，BC=4，AB=5可得AC⊥CB， 所以AC⊥BC1； （Ⅱ）设BC1与CB1交于点O，则O为BC1中点， 在中，连结OD， D，O分别为的中点， ∴， 又， ∴； （Ⅲ）过C作CE⊥AB于E，连结， 由， 故为二面角C1-AB-C的平面角， 在△ABC中，， 在中，， ∴， 二面角的余弦值为。