Question

已知如图所示，AB是⊙O中一条长为4的弦，P是⊙O上一动点，．问是否存在以A、P、B为顶点的面积最大的三角形，试说明理由；若存在，求出这个三角形的面积．

Answer 1

答案：略
解析：

解：存在以A、P、B为顶点的面积最大的三角形． ∵，∴． ∴AB不是⊙O的直径，取中点P，作PD⊥AB于D，则PD为弓形高，且PD所在的直线必过圆心． ∵当点P在优弧上时，PD大于圆的半径， 当点P在劣弧上时，PD小于⊙O的半径． ∴优弧与弦AB构成的弓形的弓高大于劣弧与弦AB构成的弓形的弓高． ∴点P必在优弧上，∵AB长为定值． ∴当点P为优弧中点时，△APB的面积最大，连结PA、PB． 则等腰三角形APB即为所求，作⊙O的直径AC，连结BC． ∴∠ABC=90°，∠APB=∠C，∴．设BC=x，则AC=3x，在Rt△ABC中，AB=4，由勾股定理得，， ∴，得． ∴，， ∴． 又∵AO=OC，AD=DB， ∴， ∴， ∴．