Question

如图所示，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD，AF//DE,DE=2AF，BE与平面ABCD所成角的正切值为．

（1）求证：AC//平面EFB；

（2）求二面角的大小．

Answer 1

（1）见解析；（2）二面角的大小为．

【解析】

试题分析：（1）设AC、BD交于O，取EB的中点G．连结FG，GO．

在△BDE中，OG∥DE且OG＝DE，FA∥DE且FA＝DE，∴OG∥FA且OG＝FA,

∴四边形FAOG为平行四边形． 2分

∴FG∥AO，又AG平面EFB，FG平面EFB，

∴直线AC∥平面EFB； 4分

（2）∵DE⊥平面ABCD，∴BE与平面ABCD所成角就是∠DBE．

又BE与平面ABCD所成的角的正切值为，∴，而BD＝，∴DE＝2． 6分

分别以DA、DC、DE所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，则有A（2，0，0），B（2，2，0），E（0，0，2），F（2，0，1），＝（0，2，0），＝（0，－2，1），＝（－2，－2，2），

设平面AEB的法向量为，则，即 ，

令，可得＝（1，0，1）， 9分

设平面FBE的法向量为，，则 ，

令，可得 ＝（1，1，2）， 11分

设二面角F-BE-A的大小为 ，，

∴二面角的大小为． 12分

考点：考查了直线与平面平行的判定，二面角的大小．