题目内容

精英家教网如图，点F（a，0）（a＞0），点P在y轴上运动，点M在x轴上运动，点N为动点，且
PM
•
PF
=0，
PN
+
PM
=
0
．
（1）求点N的轨迹C；
（2）过点F（a，0）的直线l（不与x轴垂直）与曲线C交于A、B两点，设K（-a，0），
KA
与
KB
的夹角为θ，求证0＜θ＜
π
2
．
分析：（1）先设点N（x，y），然后可以得到向量
PM
、
PF
，进而根据
PN
+
PM
=
0
、
PM
•
PF
=0可得答案．
（2）先设出直线方程，然后和（1）中所求的轨迹方程联立得到两根之和与两根之积，进而由
KA
•
KB
＞0得到答案．
解答：解：（1）设N（x，y）∵
PN
+
PM
=
0

∴M（-x，0），P（0，
y
2
）
PM
=（-X，-
y
2
），
PF
=（a，-
y
2
）
∵
PM
•
PF
=0∴
PM
•
PF
=-ax+
y2
4
=0
∴y2=4ax

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）
∴直线l：y=k（x-a）
KA
=（x1+a，y1）
KB
=（x2+a，y2）
联立
y=k(x-a)
y2=4ax
∴ky2-4ay-4ka2=0
∴y1+y2=
4a
k
，y1y2=-4a2，x1x2=a2，x1+x2=
2a(k2+2)
k2

∴
KA
•
KB
=（x1+a）（x2+a）+y1y2=x1x2+a（x1+x2）+a2+y1y2
=2a2+
2a2(k2+2)
k2
-4a2=
2a2(k2+2)
k2
-2a2=2a2(1+
2
k2
-1)=
4a2
k2
＞0
∴cosθ＞0∵θ∈[0，π]∴θ∈（0，
π
2
）
点评：本题主要考查向量的数量积运算和圆锥曲线的有关问题．在解决圆锥曲线的有关问题时，一般都是联立直线方程和圆锥曲线方程求出两根之和与两根之积，然后 根据题意解题．
练习册系列答案
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（2011•焦作一模）已知函数f（x）的图象过点（
π
4
，-
1
2
），它的导函数f′（x）=Acos（ωx+φ）（x∈R）的图象的一部分如图所示，其中A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
，为了得到函
数f（x）的图象，只要将函数y=sinx（x∈R）的图象上所有的点（　　）
精英家教网如图，点F是椭圆W：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦点，A、B分别是椭圆的右顶点与上顶点，椭圆的离心率为
1
2
，三角形ABF的面积为
3
3
2
，
（Ⅰ）求椭圆W的方程；
（Ⅱ）对于x轴上的点P（t，0），椭圆W上存在点Q，使得PQ⊥AQ，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆W交于不同的两点M、N （M、N异于椭圆的左右顶点），若以MN为直径的圆过椭圆W的右顶点A，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
如图，点F（a，0）（a＞0），点P在y轴上运动，点M在x轴上运动，点N为动点，且．
（1）求点N的轨迹C；
（2）过点F（a，0）的直线l（不与x轴垂直）与曲线C交于A、B两点，设K（-a，0），的夹角为θ，求证．
如图，点F（a，0）（a＞0），点P在y轴上运动，点M在x轴上运动，点N为动点，且．
（1）求点N的轨迹C；
（2）过点F（a，0）的直线l（不与x轴垂直）与曲线C交于A、B两点，设K（-a，0），的夹角为θ，求证．

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