Question

如图，点F（a，0）（a＞0），点P在y轴上运动，点M在x轴上运动，点N为动点，且．
（1）求点N的轨迹C；
（2）过点F（a，0）的直线l（不与x轴垂直）与曲线C交于A、B两点，设K（-a，0），的夹角为θ，求证．

Answer 1

【答案】分析：（1）先设点N（x，y），然后可以得到向量、，进而根据、可得答案．
（2）先设出直线方程，然后和（1）中所求的轨迹方程联立得到两根之和与两根之积，进而由得到答案．
解答：解：（1）设N（x，y）∵
∴M（-x，0），P（0，）=（-X，-），=（a，-）
∵∴=-ax+=0
∴y²=4ax

（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴直线l：y=k（x-a）=（x₁+a，y₁）=（x₂+a，y₂）
联立∴ky²-4ay-4ka²=0
∴，y₁y₂=-4a²，x₁x₂=a²，
∴=（x₁+a）（x₂+a）+y₁y₂=x₁x₂+a（x₁+x₂）+a²+y₁y₂
=2a²+-4a²=-2a²=2=＞0
∴cosθ＞0∵θ∈[0，π]∴θ∈（0，）
点评：本题主要考查向量的数量积运算和圆锥曲线的有关问题．在解决圆锥曲线的有关问题时，一般都是联立直线方程和圆锥曲线方程求出两根之和与两根之积，然后 根据题意解题．