Question

已知过原点O的一条直线与函数y=log₈x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y＝log2x的图象交于C、D两点

(1)证明点C、D和原点O在同一条直线上

(2)当BC平行于x轴时，求点A的坐标.

Answer 1

(1)设A、B的横坐标分别为x₁，x₂，由题设知x₁＞1，x₂＞1，点A(x₁，log₈x₁），B（x₂，log₈x₂）

 

因为A、B在过点O的直线上，所以＝，

 

又点C、D的坐标分别为（x₁，log₂x₁），（x₂，log₂x₂）.

 

由于log₂x₁＝＝3log₈x₁，log₂x₂＝＝3log₈x₂，

 

所以OC的斜率和OD的斜率分别为

 

k_OC＝＝3，k_OD＝＝.

 

由此得k_OC＝k_OD，即O、C、D在同一条直线上.

 

(2)由BC平行于x轴，有log₂x₁＝log₈x₂，解得x₂＝x³₁

 

将其代入＝，得x₁³log₈x₁＝3x₁log₈x₁.

 

由于x₁＞1，知log₈x₁≠0，故x³₁＝3x₁，x₁＝，于是点A的坐标为(，log₈）.