Question

A、B是抛物线y²=2px(p＞0)上的两点,且OA⊥OB(O为坐标原点).

(1)求证:A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积分别都是定值；(2)求证:直线AB经过一个定点;(3)求O在线段AB上的射影M的轨迹方程.

Answer 1

(1)证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，

∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0.

∴y₁²y₂²=2px₁·2px₂=4p²x₁x₂=-4p²y₁y₂.

∴y₁y₂=-4p²为定值.x₁x₂=-y₁y₂=4p²也是定值.

(2)证明：∵y₂²-y₁²=（y₂+y₁）（y₂-y₁）=2p（x₂-x₁）,

又∵x₁≠x₂，∴=.

∴直线AB的方程为

y-y₁=(x-x₁)=(x-).

∴y=x-+y₂+y₁

=x+

=x-=（x-2p）.

∴直线AB过定点（2p，0）.

(3)解：设AB过定点P(2p,0),则由OM⊥MP,∠OMP=90°,知点M的轨迹是以OP为直径的圆.

∴点M的轨迹方程为(x-p)²+y²=p²(x≠0).