题目内容
数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=（1+cos2
）an+sin2
，n=1，2，3，…。
（1）求a3，a4并求数列{an}的通项公式；
（2）设
，Sn=b1+b2+…+bn，证明：当n≥6时，|Sn-2|＜
。
解：（1）因为
所以
一般地当
时，
=
即
所以数列
是首项为1、公差为1的等差数列，因此
当
时，
所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此
故数列
的通项公式为
；
（2）由（1）知
①
②
①-②得，
所以
要证明当
时，
成立，只需证明当
时，
成立
①当n=6时，
成立
②假设当
时不等式成立，即
则当n=k+1时，
由①②所述，当n≥6时，
即当n≥6时，
。
所以
一般地当
时，=即
所以数列
是首项为1、公差为1的等差数列，因此当
时，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此
故数列
的通项公式为；（2）由（1）知
① ②①-②得，
所以
要证明当
时，成立，只需证明当时，成立①当n=6时，
成立②假设当
时不等式成立，即则当n=k+1时，
由①②所述，当n≥6时，
即当n≥6时，
。
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