Question

已知抛物线C：y²=4x的准线与x轴交于M点，过M点斜率为k的直线l与抛物线C交于A、B两点（A在M、B之间）．
（1）F为抛物线C的焦点，若|AM|=

5

4

|AF|，求k的值；
（2）如果抛物线C上总存在点Q，使得QA⊥QB，试求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）法一：先求出点M的坐标，再求出|AM|和|AF|利用|AM|=

5

4

|AF|，求出k的值；
法二：利用抛物线的定义把|AF|的长转化为点A到准线的距离，再利用直线的倾斜角与|AM|和点A到准线的距离之间的关系求k的值；
（2）先把直线方程与抛物线方程联立消去x，得到关于A、B两点纵坐标之间的关系式再利用QA⊥QB，找到k的取值范围．（注意检验是否满足判别式）．

解答：解：（1）法一：由已知M（-1，0）（1分）
设A（x₁，y₁），则|AM|=

1+k2

|x1+1|，（1分）
|AF|=

(x1-1)2+ y 2 1

=

(x1-1)2+4x1

=|x₁+1|，（1分）
由4|AM|=5|AF|得，4

1+k2

=5，
解得k=±

3

4

（2分）
法二：记A点到准线距离为d，直线l的倾斜角为a，
由抛物线的定义知|AM|=

5

4

d，（2分）
∴cosa=±

d

|AM|

=±

4

5

，
∴k=tana=±

3

4

（3分）
（2）设Q（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

y2=4x y=k(x+1)

得ky²-4y+4k=0，（1分）
首先由

k≠0 16-16k2＞0

得-1＜k＜1且k≠0
k_QA=

y0-y1

x0-x1

=

y0-y1

y  2 0 4 - y   2 1 4

=

4

y0+y1

，
同理k_QB=

4

y0+y2

（2分）
由QA⊥QB得

4

y0+y1

•

4

y0+y2

=-1，（2分）
即：y₀²+y₀（y₁+y₂）+y₁y₂=-16，
∴

y

2 0

+

4

k

y0+20=0，（2分）
△=(

4

k

)2-80≥0，得-

5

5

≤k≤

5

5

且k≠0，
由-1＜k＜1且k≠0得，
k的取值范围为[-

5

5

，0）∪（0，

5

5

]（3分）

点评：本题考查抛物线的应用以及直线间的位置关系．在解决圆锥曲线问题时，定义法是比较常用的．