题目内容
已知二阶矩阵M=（
）有特征值λ1=2及对应的一个特征向量
．（Ⅰ）求矩阵M；
（II）若
，求
．（2）已知直线l：
（t为参数），曲线C1：
（θ为参数）．（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；
（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的
倍，纵坐标压缩为原来的
倍，得到曲线C2C，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．（3）已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x-2|-m）．
（Ⅰ）当m=5时，求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥1的解集是R，求m的取值范围．
【答案】分析：（1）（Ⅰ）利用二级矩阵与平面列向量的乘法法则，可得结论；
（Ⅱ）确定矩阵M的特征多项式，确定矩阵M的另一个特征值，进而可得
，由此可求
；
（2）（Ⅰ）将l、曲线C1，化为普通方程，联立方程组，解得l与曲线C1的交点坐标，可求|AB|；
（II）确定点P的坐标是（
），求出点P到直线l的距离，即可求得最小值；
（3）（I）由题意|x+1|+|x-2|-5＞0，由此可得函数的定义域；
（Ⅱ）f（x）≥1等价于不等式|x+1|+|x-2|-m≥2的解集是R，则m≤|x+1|+|x-2|-2在R上恒成立，从而可求m的取值范围．
解答：（1）解：（Ⅰ）依题意：
，∴
∴a=1，b=2．…（3分）
（Ⅱ）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ-1）（λ-2），
∴矩阵M的另一个特征值为λ2=1，…（4分）
设
是矩阵M属于特征值λ2=1的特征向量，则
∴
，取x=1，得
，…（5分）
∴
，∴M10
．…（7分）
（2）解：（I）l的普通方程为y=
（x-1），曲线C1的普通方程为x2+y2=1
联立方程组
，解得l与曲线C1的交点为A（1，0），B（
），则|AB|=1．…（3分）
（II）C2的参数方程为
（θ为参数），故点P的坐标是（
sinθ），
从而点P到直线l的距离是d=
=
，
由此当
时，d取得最小值，且最小值为
．…（7分）
（3）（I）由题意|x+1|+|x-2|-5＞0，令g（x）=|x+1|+|x-2|=
解得x＞3或x＜-2，∴函数的定义域为{x|x＞3或x＜-2}…（3分）
（Ⅱ）f（x）≥1，∴log2（|x+1|+|x-2|-m）≥1=log22，即|x+1|+|x-2|-m≥2．
由题意，不等式|x+1|+|x-2|-m≥2的解集是R，则m≤|x+1|+|x-2|-2在R上恒成立．
而|x+1|+|x-2|-2≥3-2=1，故m≤1．…（7分）
点评：本题是选作题，考查知识全面，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．
（Ⅱ）确定矩阵M的特征多项式，确定矩阵M的另一个特征值，进而可得
，由此可求；（2）（Ⅰ）将l、曲线C1，化为普通方程，联立方程组，解得l与曲线C1的交点坐标，可求|AB|；
（II）确定点P的坐标是（
），求出点P到直线l的距离，即可求得最小值；（3）（I）由题意|x+1|+|x-2|-5＞0，由此可得函数的定义域；
（Ⅱ）f（x）≥1等价于不等式|x+1|+|x-2|-m≥2的解集是R，则m≤|x+1|+|x-2|-2在R上恒成立，从而可求m的取值范围．
解答：（1）解：（Ⅰ）依题意：
，∴∴a=1，b=2．…（3分）（Ⅱ）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ-1）（λ-2），
∴矩阵M的另一个特征值为λ2=1，…（4分）
设
是矩阵M属于特征值λ2=1的特征向量，则∴
，取x=1，得，…（5分）∴
，∴M10．…（7分）（2）解：（I）l的普通方程为y=
（x-1），曲线C1的普通方程为x2+y2=1联立方程组
，解得l与曲线C1的交点为A（1，0），B（），则|AB|=1．…（3分）（II）C2的参数方程为
（θ为参数），故点P的坐标是（sinθ），从而点P到直线l的距离是d=
=，由此当
时，d取得最小值，且最小值为．…（7分）（3）（I）由题意|x+1|+|x-2|-5＞0，令g（x）=|x+1|+|x-2|=
解得x＞3或x＜-2，∴函数的定义域为{x|x＞3或x＜-2}…（3分）
（Ⅱ）f（x）≥1，∴log2（|x+1|+|x-2|-m）≥1=log22，即|x+1|+|x-2|-m≥2．
由题意，不等式|x+1|+|x-2|-m≥2的解集是R，则m≤|x+1|+|x-2|-2在R上恒成立．
而|x+1|+|x-2|-2≥3-2=1，故m≤1．…（7分）
点评：本题是选作题，考查知识全面，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．
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