Question

设函数．
（1）对于任意实数，恒成立，求的最大值；
（2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围．

Answer 1

（1）（2）或

解析试题分析：（1）先求导，因为为二次函数，所以对于任意实数，恒成立，即恒成立。所以此二次函数的图像应开口向上，判别式小于等于0。（2）分别解得函数的单调性和极值。画图分析可知要使只有一个根则应极大值小于0或极小值大于0.
试题解析：解：(1) ,      2分
因为,,  即 恒成立,           4分
所以 , 得，
即的最大值为          6分
(2) 因为 当时, ;当时, ;
当时, ;      8分
所以 当时,取极大值 ;
当时,取极小值 ;       10分
故当 或时, 方程仅有一个实根.
解得 或.     14分
考点：用导数研究函数的性质。