Question

【题目】已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜ ）的最下正周期为π，且点P（ ，2）是该函数图象的一个人最高点．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若x∈[﹣ ，0]，求函数y=f（x）的值域；
（3）把函数y=f（x）的图线向右平移θ（0＜θ＜ ）个单位，得到函数y=g（x）在[0， ]上是单调增函数，求θ的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵由题意可得，A=2， =π，

∴ω=2．

∵再根据函数的图象经过点M（ ，2），可得2sin（2× +φ）=2，结合|φ|＜ ，可得ω= ，

∴f（x）=2sin（2x+ ）．

（2）解：∵x∈[﹣ ，0]，

∴2x+ ∈[﹣ ， ]，

∴sin（2x+ ）∈[﹣1， ]，可得：f（x）=2sin（2x+ ）∈[﹣2，1]．

（3）解：把函数y=f（x）的图线向右平移θ（0＜θ＜ ）个单位，

得到函数y=g（x）=2sin[2（x﹣θ）+ ]=2sin（2x﹣2θ+ ），

∴令2kπ﹣ ≤2x﹣2θ+ ≤2kπ+ ，k∈Z，解得：kπ+θ﹣ ≤x≤kπ+θ+ ，k∈Z，

可得函数的单调递增区间为：[kπ+θ﹣ ，kπ+θ+ ]，k∈Z，

∵函数y=g（x）在[0， ]上是单调增函数，

∴ ，

∴解得： ，k∈Z，

∵0＜θ＜ ，

∴当k=0时，θ∈[ ， ]．

【解析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．（2）由x的范围可求2x+ ∈[﹣ ， ]，利用正弦函数的性质可求其值域．（3）利用三角函数平移变换规律可求g（x）=2sin（2x﹣2θ+ ），利用正弦函数的单调性可求函数的单调递增区间，进而可得 ，k∈Z，结合范围0＜θ＜ ，可求θ的取值范围．
【考点精析】通过灵活运用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，掌握图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象即可以解答此题．