Question

已知f（x）为偶函数，且f（2+x）=f（2-x），当-2≤x≤0时，f（x）=2^x；若n∈N^*，a_n=f（n），则a₂₀₀₉=（ ）
A．2009
B．-2009
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：由f（x）为偶函数，且f（2+x）=f（2-x），推出f（x）是周期为4的周期函数，由a_n=f（n）得，a₂₀₁₀=f（2009）=f（4×502+1）=f（1）=f（-1），于是即可求出a₂₀₀₉的值．
解答：解：∵f（2+x）=f（2-x），∴f（x）=f （4-x），又f（x）为偶函数，
∴f（-x）=f（x），
∴f（-x）=f（4-x），
∴f（x）=f（x+4），
∴f（x）是周期等于4的周期函数，
∵a_n=f （n），当-2≤x≤0时，f（x）=2^x，
∴a₂₀₀₉=f （2009）=f （4×502+1）=f （1）=f（-1）=2^-1=，
故选C．
点评：本题主要考查了数列递推式和偶函数的性质、函数的周期性，利用函数的奇偶性和周期性求函数值，此题难度一般．