题目内容

（文科）已知函数 $数学公式$ ，数列{a_n}满足 $数学公式$ ．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…-a_2na_2n+1，求T_n；
（3）令 $数学公式$ ，若 $数学公式$ 时n∈N^*恒成立，求最小的正整数m．

解：（1）由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$
∴数列{a_n}为等差数列
∴ $\text{[math]}$ （n∈N^*）
（2）T_n=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃-a₅）+…+a_2n（a_2n-1-a_2n+1）
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
（3） $\text{[math]}$ b₁=3也适合上式．
故 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
恒成立
9n2n+1＜m-20002对n∈N^*恒成立
又 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，∴m≥2009
故最小的正整数m为2009
分析：（1）先由函数 $\text{[math]}$ ，化简 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，数列{a_n}为等差数列，按照等差数列通项公式来求．
（2）∵T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…-a_2na_2n+1，化简得，T_n= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，可用分组求和．
（3）先根据a_n求b_n，再用裂项求和求S_n，数列的最值问题有两种思路，一是利用数列的函数性质，二是利用数列的递推性质．
点评：本题综合考查了数列通项、数列求和、数列的函数性质，解题时要认真观察，仔细把握，灵活运用