Question

已知离心率e=

2

2

的椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)一个焦点为（-1，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若斜率为1的直线l交椭圆C于A，B两点，且|AB|=

4 2

3

，求直线l方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据离心率e=

2

2

，一个焦点为（-1，0），求出椭圆的几何量，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l方程为y=x+m，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合弦长公式，求出m，即可求直线l方程．

解答：解：（Ⅰ）由题知c=1，e=

c

a

=

2

2

，
∴a=

2

，b=1，（3分）
∴椭圆C：

x2

2

+y2=1．（4分）
（Ⅱ）设直线l方程为y=x+m，点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由方程组

x2 2 +y2=1 y=x+m

（6分）
化简得：3x²+4mx+2m²-2=0，
由△=16m²-12（2m²-2）=-8m²+24＞0，可得m²＜3．（8分）
∵x1+x2=-

4m

3

，x1x2=

2m2-2

3

，
∴|AB|=

1+k2

|x2-x1|=

2

•

(x2+x1)2-4x1x2

，（9分）
=

2

•

-8m2+24 9

=

4 2

3

，
解得m=±1．（11分）
∴直线l方程y=x+1或y=x-1．（12分）

点评：本题以椭圆的几何性质为载体考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长的计算，正确运用韦达定理是关键．