题目内容
已知离心率为
的椭圆E：
+
=1（a＞b＞0）的焦距为4．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若某圆的圆心为坐标原点O，该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且
⊥
，求该圆的方程，并求|AB|的最大值．
| ||
| 2 |
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（1）求椭圆E的方程；
（2）若某圆的圆心为坐标原点O，该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且
| OA |
| OB |
分析：（1）利用离心率为
的椭圆的焦距为4，求出几何量，即可得到椭圆E的方程；
（2）分类讨论，设出方程与椭圆方程联立，利用该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且
⊥
，即可求出圆的方程，表示出|AB|，即可求|AB|的最大值．
| ||
| 2 |
（2）分类讨论，设出方程与椭圆方程联立，利用该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且
| OA |
| OB |
解答：解：（1）由题意，2c=4，
=
，∴c=2，a=2
∴b2=a2-c2=4，∴椭圆E的方程为
+
=1；
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且
⊥
，
设该圆的切线方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．
由
，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0，则△=8（8k2-m2+4）＞0，∴8k2-m2+4＞0
x1+x2=-
，x1x2=
，
∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=
要使
⊥
，只需x1x2+y1y2=0，即
+
=0，所以3m2-8k2-8=0，
所以k2=
≥0
又8k2-m2+4＞0，所以
，所以m2≥
，即m≥
或m≤-
，
因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为r2=
=
，
所以所求的圆为x2+y2=
，此时圆的切线y=kx+m都满足m≥
或m≤-
；
当切线的斜率不存在时切线为x=±
与椭圆
+
=1的两个交点为（
，±
）或（-
，±
）满足
⊥
，
综上，存在圆心在原点的圆x2+y2=
，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且
⊥
．
因为x1+x2=-
，x1x2=
，
所以|AB|=
|x1-x2|=
，
当k≠0时，|AB|=
因为4k2+
+4≥8，所以0＜
≤
，所以|AB|≤2
当k=0时，或斜率不存在时，计算得|AB|=
．
综上可得|AB|max=2
| c |
| a |
| ||
| 2 |
| 2 |
∴b2=a2-c2=4，∴椭圆E的方程为
| x2 |
| 8 |
| y2 |
| 4 |
（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且
| OA |
| OB |
设该圆的切线方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．
由
|
x1+x2=-
| 4km |
| 1+2k2 |
| 2m2-8 |
| 1+2k2 |
∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=
| m2-8k2 |
| 1+2k2 |
要使
| OA |
| OB |
| 2m2-8 |
| 1+2k2 |
| m2-8k2 |
| 1+2k2 |
所以k2=
| 3m2-8 |
| 8 |
又8k2-m2+4＞0，所以
|
| 8 |
| 3 |
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为r2=
| m2 |
| 1+k2 |
| 8 |
| 3 |
所以所求的圆为x2+y2=
| 8 |
| 3 |
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
当切线的斜率不存在时切线为x=±
2
| ||
| 3 |
| x2 |
| 8 |
| y2 |
| 4 |
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
| OA |
| OB |
综上，存在圆心在原点的圆x2+y2=
| 8 |
| 3 |
| OA |
| OB |
因为x1+x2=-
| 4km |
| 1+2k2 |
| 2m2-8 |
| 1+2k2 |
所以|AB|=
| 1+k2 |
|
当k≠0时，|AB|=
|
因为4k2+
| 1 |
| k2 |
| 1 | ||
4k2+
|
| 1 |
| 8 |
| 3 |
当k=0时，或斜率不存在时，计算得|AB|=
4
| ||
| 3 |
综上可得|AB|max=2
| 3 |
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，考查轨迹方程的求法，考查向量知识的运用，综合性强．
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