Question

（本题满分14分）
已知函数，是方程f(x)=0的两个根，是f(x)的导数.
设，（n=1,2,……）
（1）求的值；
（2）证明：对任意的正整数n，都有>a；
（3）记（n=1,2,……），求数列{b_n}的前n项和S_n。

Answer 1

略

(1)解方程x²+x-1=0得x=
由?知?=,β=     
(2) f’ (x)=2x+1
    ="    " -                ="            "
下面我们用数学归纳法来证明该结论成立
①当n=1时，a₁=1<=?成立，
②假设n=k(k≥1, k∈N*)时，结论也成立，即a_k<成立，
③那么当n=k+1时，
==-+<-+=+=
这就是说，当n=k+1时，结论也成立，故对于任意的正整数n，都有a_n<
(3)
="            " ="                      " =
=()²
由题意知a_n>,那么有a_n>β，于是对上式两边取对数得
ln=ln()²="2" ln()
即数列{b_n}为首项为b₁= ln()="2ln(      " )，公比为2的等比数列。
故其前n项和
 
S_n="2ln(      " )     ="2ln(      " )(2ⁿ -1).