Question

已知实数a＞0且a≠1，命题p：y=log_a（2-ax）在区间上为减函数；命题q：方程e^x-x+a-3=0在[0，1]有解．若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：由a＞0，知t=2-ax为上的减函数．由y=log_a（2-ax）在区间上为减函数，知a＞1；由2-ax＞0在上恒成立，知a＜4，故1＜a＜4．由对于?x∈[0，1]，e^x-x+a-3=0有解，知a=-e^x+x+3在[0，1]上有解．再由p∨q为真，p∧q为假，能求出实数a的取值范围．
解答：解：∵a＞0，∴t=2-ax为上的减函数．
又∵y=log_a（2-ax）在区间上为减函数，∴a＞1…（2分）
又∵2-ax＞0在上恒成立，
∴，即a＜4，
∴1＜a＜4…（4分）
∵对于?x∈[0，1]，e^x-x+a-3=0有解，
即a=-e^x+x+3在[0，1]上有解．
令f（x）=-e^x+x+3，x∈[0，1]，
∴f′（x）=-e^x+1，
当0≤x≤1时，f′（x）=-e^x+1≤0，
∴f（1）≤f（x）≤f（0），
即4-e≤f（x）≤2，
∴4-e≤a≤2…（8分）
又∵p∨q为真，p∧q为假
∴1＜a＜4-e或2＜a＜4．…（12分）
点评：本题考查命题的真假判断和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意对数函数的指数方程的性质的灵活运用．