题目内容

已知数列{a_n}中， $数学公式$ ，n∈N^*
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的前n项的和为S_n，求证： $数学公式$ （n∈N^）
（3）令 $数学公式$ ，若数列{c_n}的前n项的和为T_n，求证： $数学公式$ （n∈N^）

解：（1）∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴b_n+1=| $\text{[math]}$ |
=| $\text{[math]}$ |
=| $\text{[math]}$ |
= $\text{[math]}$ | $\text{[math]}$ |，
∴ $\text{[math]}$ ，
∵a₁=2，∴ $\text{[math]}$ ，
故{b_n}是首项为 $\text{[math]}$ ，公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列，
∴ $\text{[math]}$ ．
（2）∵{b_n}是首项为 $\text{[math]}$ ，公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列，
即 $\text{[math]}$ ，q= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴b_nS_n= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
（3）∵ $\text{[math]}$ （n∈N^*），
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，知b_n+1=| $\text{[math]}$ |=| $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ | $\text{[math]}$ |，由此能推导出 $\text{[math]}$ ．
（2）由 $\text{[math]}$ ，q= $\text{[math]}$ ，知 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，由此能证明 $\text{[math]}$ （n∈N^*）．
（3）由 $\text{[math]}$ （n∈N^*），知 $\text{[math]}$ ，由此能够证明 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查数列、不等式知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．