Question

设二次函数的图像过原点，，
的导函数为，且，
（1）求函数，的解析式；
（2）求的极小值；
（3）是否存在实常数和，使得和若存在，求出和的值；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1）由已知得，
则，从而，
∴,，。
由 得，解得
。……………………4分
（2），
求导数得。在（0,1）单调递减，在（1,+）单调递增，从而的极小值为。……………………8分
（3）因  与有一个公共点(1,1),而函数在点(1,1)的切线方程为。下面验证都成立即可。
由 ，得，知恒成立。
设，即 ，
求导数得，
在(0,1)上单调递增，在上单调递减，所以 的最大值为，所以恒成立。
故存在这样的实常数和，且。

解析