Question

已知函数f（x）=x³-3ax²+3x+1
（1）设a=2，求f（x）的单调增区间；
（2）设f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）f（x）的定义域是R，f′（x）=3x²-6ax+3，
当a=2时，f′（x）=3x²-12x+3=3（x²-4x+1），令f′（x）＞0，可得x²-4x+1＞0
解得：或
∴f（x）的单调增区间是；
（2）∵f′（x）=3x²-6ax+3，而f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，等价于方程3x²-6ax+3=0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜-1）的条件下在区间（2，3）有解．
∴由3x²-6ax+3=0可得a=，
令g（x）=，求导函数可得g′（x）=
∴g（x）在（2，3）上单调递增，
∴＜＜，
∴＜a＜，此时满足△＞0，
故a的取值范围是＜a＜．
分析：（1）求导函数，利用导数大于0，可得f（x）的单调增区间；
（2）f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，等价于方程f′（x）=0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜-1）的条件下在区间（2，3）有解．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点转化为方程f′（x）=0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜-1）的条件下在区间（2，3）有解．