Question

已知a＞1，当x∈[2，+∞）时，函数f（x）=㏒_a（x²-ax+2）的值恒为正．
（1）求a的取值范围；
（2）记（1）中a的取值范围为集合A，函数g（x）=㏒₂（tx²+2x-2）的定义域为集合B．若A∩B≠Φ，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）a＞1，当x∈[2，+∞）时，函数f（x）=㏒_a（x²-ax+2）的值恒为正可转化成当x∈[2，+∞）时，x²-ax+2＞1恒成立，然后将a分离出来，利用函数的单调性求解不等式另一侧的最值，从而求出a的取值范围；
（2）由于A∩B≠Φ，所以不等式tx²+2x-2＞0有属于A的解，即t＞

2

x2

-

2

x

有属于A的解，根据二次函数的性质求出不等式右侧的最小值，即可求出t的取值范围．

解答：解：（1）当x∈[2，+∞）时，x²-ax+2＞1恒成立
即当x∈[2，+∞）时，a＜x+

1

x

恒成立；…（3分）
又因为函数x+

1

x

在[2，+∞）上是增函数，所以（x+

1

x

）_min=

5

2

，
∴1＜a＜

5

2

．…（6分）
（2）A=（1，

5

2

），B={x|tx²+2x-2＞0}．…（7分）
由于A∩B≠Φ，所以不等式tx²+2x-2＞0有属于A的解，即t＞

2

x2

-

2

x

有属于A的解；
又1＜x＜

5

2

时，即

2

5

＜

1

x

＜1，…（10分）
所以

2

x2

-

2

x

=2（

1

x

-

1

2

）²-

1

2

∈[-

1

2

，0）．
故t＞-

1

2

．…（12分）

点评：本题主要考查了利用参数分离法求恒成立问题，以及二次函数的性质，同时考查了转化的思想和运算求解的能力，属于中档题．