Question

2010年的元旦，宁波从0时到24时的气温变化曲线近似地满足函数y=Asin（ωx+φ）+b（A，ω＞0，|φ|≤π）．从天气台得知：宁波在2010的第一天的温度为1到9度，其中最高气温只出现在下午14时，最低气温只出现在凌晨2时．
（Ⅰ） 求函数y=Asin（ωx+φ）+b的表达式；
（Ⅱ）若元旦当地，M市的气温变化曲线也近似地满足函数y=A₁sin（ω₁x+φ₁）+b₁，且气温变化也为1到9度，只不过最高气温和最低气温出现的时间都比宁波迟了四个小时．
（ⅰ）求早上七时，宁波与M市的两地温差；
（ⅱ）若同一时刻两地的温差不差过2度，我们称之为温度相近，求2010年元旦当日，宁波与M市温度相近的时长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知可得，b=5，A=4，T=24，从而可确定ω，又最低气温只出现在凌晨2时，可求φ，从而可求函数表达式；（Ⅱ）由已知得M市的气温变化曲线近似地满足函数y2=4sin(

π

12

x-π )+5，从而问题得解．

解答：解：（Ⅰ）由已知可得，b=5，A=4，T=24，∴ω=

π

12

，∵最低气温只出现在凌晨2时，∴2ω+φ=2kπ-

π

2

，∵|φ|≤π），∴φ=-

2

3

π，则所求函数为y=4sin(

π

12

x-

2

3

π )+5
（Ⅱ）由已知得M市的气温变化曲线近似地满足函数y2=4sin(

π

12

x-π )+5，y-y2=4sin(

π

12

x-

2

3

π )+5- 4sin(

π

12

x-π )+5=4sin(

π

12

x-

1

3

π )
（ⅰ）当x=7，y-y2═ 4sin(

7π

12

-

1

3

π )=2

2

（ⅱ）由-2≤4sin(

π

12

x-

1

3

π )≤2，解得2≤x≤6或14≤x≤18，则10年后元旦，宁波与M市温度相近的时长为8小时．

点评：本题主要考查三角函数模型的运用，关键是挖掘问题的本质，确定三角函数的模型，进而表达出函数模型，解决实际问题