Question

某工厂生产某种儿童玩具，每件玩具的成本为30元，并且每件玩具的加工费为t元（其中t为常数，且2≤t≤5），设该工厂每件玩具的出厂价为x元（35≤x≤41），根据市场调查，日销售量与e^x（e为自然对数的底数）成反比例，当每件玩具的出厂价为40元时，日销售量为10件．
（1）求该工厂的日利润y（元）与每件玩具的出厂价x元的函数关系式；
（2）当每件玩具的日售价为多少元时，该工厂的利润y最大，并求y的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由条件“日销售量与e^x（e为自然对数的底数）成反比例”可设日销量为，根据日利润y=每件的利润×件数，建立函数关系式，注意实际问题自变量的范围．
（2）先对函数进行求导，求出极值点，讨论极值是否在35≤x≤41范围内，利用单调性求出函数的最值．
解答：解：（Ⅰ）设日销量为；
则．（2分）
则日售量为，∴日利润．
∴，其中35≤x≤41．（6分）
（Ⅱ），令y′=0得x=31+t．（8分）
①当2≤t≤4时，33≤31+t≤35．∴当35≤x≤41时，y′≤0．
∴当x=35时，y取最大值，最大值为10（5-t）e⁵．（11分）
②当4＜t≤5时，35＜t+31≤36，函数y在[35，t+31]上单调递增，
在[t+31，41]上单减．∴当x=t+31时，y取最大值10e^9-t．
∴当2≤t≤4时，x=35时，日利润y最大值为10（5-t）e⁵元
当4＜t≤5时，x=31+t时，日利润y最大值为10e^9-t元．
点评：解决实际问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情境”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系抽象成数学问题，在数学领域寻找适当的方法解决，再返回到实际问题中加以说明．