Question

某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六组[90，100），[100，110），…，[140，150）后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
（Ⅰ）求分数在[120，130）内的频率；
（Ⅱ）若在同一组数据中，将该组区间的中点值（如：组区间[100，110）的中点值为

100+110

2

=105．作为这组数据的平均分，据此，估计本次考试的平均分；
（Ⅲ）用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，设在分数段为[120，130）内抽取的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

分析：（I）由题意及频率分布直方图的性质可知：分数在[120，130）内的频率为1-（0.1+0.15+0.15+0.25+0.05）=1-0.7=0.3；
（II）由题意及平均数的定义可知估计平均分

.

x

 得数值；
（III）由题意，[110，120）分数段的人数为60×0.15=9（人）[120，130）分数段的人数为60×0.3=18（人）．用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本，利用分层抽样定义所以需在分数段[110，120）内抽取2人，在[120，130）内抽取4人，则ξ的取值为0、1、2，利用古典概型随机事件的概率公式即可求得其分布列及期望值．

解答：解：（Ⅰ）分数在[120，130）内的频率为1-（0.1+0.15+0.15+0.25+0.05）=1-0.7=0.3．
（Ⅱ）估计平均分为

.

x

=95×0.1+105×0.15+115×0.15+125×0.3+135×0.25+145×0.05=121．
（Ⅲ）由题意，[110，120）分数段的人数为60×0.15=9（人）[120，130）分数段的人数为60×0.3=18（人）．
∵用分层抽样的方法在分数段为[110，130）的学生中抽取一个容量为6的样本
∴需在分数段[110，120）内抽取2人，在[120，130）内抽取4人，则ξ的取值为0、1、2，且P(ξ=0)=

C 2 2 C 0 4

C 2 6

=

1

15

，P(ξ=1)=

C 1 2 C 1 4

C 2 6

=

8

15

，P(ξ=2)=

C 0 2 C 2 4

C 2 6

=

6

15

=

2

5

．
∴ξ的分布列为

ξ	0	1	2
P	1 15	8 15	2 5

Eξ=0×

1

15

+1×

8

15

+2×

2

5

=

4

3

．

点评：此题考查了统计知识的分层抽样定义，还考查了频率分布直方图及性质，另外考查了古典概型随机事件的概率公式及分布列，并利用分布列求出随机变量的期望．