Question

求下列各函数的最大值与最小值．

(1)f(x)＝x³－2x²＋1，x∈[－1，2]，

(2)f(x)＝＋，x∈(0，1)(a＞0，b＞0)．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)(x)＝3x2－4x，令(x)＝0， 　　得x1＝0，x2＝．因此x变化时，、y的变化情况如下表： 　　∴ymax＝1，ymin＝． 　　(2)(x)＝＋＝． 　　令(x)＝0，即b2x2－a2(1－x)2＝0， 　　解得x＝． 　　当0＜x＜时，(x)＜0； 　　当＜x＜1时，(x)＞0， 　　∵函数f(x)在点x＝处取得极小值， 　　即最小值为f()＝(a＋b)2， 　　即f(x)min＝(a＋b)2． 　　由于x→1时，f(x)→＋∞， 　　∴函数无最大值． 　　解析：由求最值的方法步骤直接求解．

提示：

若函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，则f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值，其最值一定在极值点处或区间端点处取得，因此在求闭区间[a，b]上连续，开区间(a，b)内可导的函数的最值时，可将过程简化，即不用判断导数为零的点是极大值点还是极小值点，直接将极值点与端点的函数值进行比较，就可判定最大(小)的函数值，就是最大(小)值，对于开区间(a，b)内可导的函数(定义域为开区间或半开半闭区间)求最值，除求出函数的极大值、极小值外，还应考虑函数在区间端点处的极限值或画出函数的大致图像，再判定函数的最大(小)值，否则会犯错误，但定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．