Question

 

对于给定数列，如果存在实常数、,使得 对于任意都成立，我们称数列是 “线性数列”．

（I）如果，，，那么数列、是否为“线性数列”？

若是，分别指出它们对应的实常数、；若不是，请说明理由；

（II）若数列满足，，为常数．

① 求数列前项的和；

② 是否存在实数，使数列是“线性数列”，如果存在，求出所有的值；如果不存在，请说明理由.

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（I）因为则有_，

故数列是“线性数列”， 对应的实常数、分别为_.

 因为，则有 ,         

故数列是“线性数列”， 对应的实常数、分别为………4分

（II）（1）因为  则有， ， 

故数列前项的和++++

 ……………8分

注：本题也可以先求出，然后求和.

（2）假设数列是“线性数列”， 则存在实常数

使得对于任意都成立，于是对于任意都成立，因此对于任意都成立，

而，

则有对于任意都成立，可以得到.

①当时，，，，经检验满足条件.

②当 时，，，经检验满足条件.

因此当且仅当或，时，数列也是“线性数列”.

对应的实常数分别为, 或．    …………………………………13分