题目内容
过直线l：y=x+9上的一点P作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为F1（-3，0），F2（3，0），则椭圆的方程为分析：由题设条件知，直线l与椭圆切于点P，根据椭圆定义，化为在l上求一点P，使|PF1|+|PF2|为最小，用对称点法求之．
解答：解：设直线l上的占P（t，t+9），
取F1（-3，0）关于l的对称点Q（-9，6），
根据椭圆定义，2a=|PF1|+|PF2|=|PQ|+|PF2|≥|QF2| =
=6
，
当且仅当Q，P，F2共线，即kPF2=kQF2，
即
=
时，
上述不等式取等号，∴t=-5．
∴P（-5，4），
据c=3，a=3
，知a2=45，b2=36，
∴椭圆的方程为
+
=1．
故答案为
+
=1．
取F1（-3，0）关于l的对称点Q（-9，6），
根据椭圆定义，2a=|PF1|+|PF2|=|PQ|+|PF2|≥|QF2| =
| 144+36 |
| 5 |
当且仅当Q，P，F2共线，即kPF2=kQF2，
即
| t+9 |
| t-3 |
| 6 |
| -12 |
上述不等式取等号，∴t=-5．
∴P（-5，4），
据c=3，a=3
| 5 |
∴椭圆的方程为
| x2 |
| 45 |
| y2 |
| 36 |
故答案为
| x2 |
| 45 |
| y2 |
| 36 |
点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．
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(－3，0)，
(3，0)，则椭圆的方程为________．