Question

设a＞0，函数f(x)=

1

2

x2-(a+1)x+alnx．
（1）若曲线y=f（x）在（2，f（2））处切线的斜率为-1，求a的值；
（2）求函数f（x）的极值点．

Answer 1

（1）由已知x＞0
f′(x)=x-(a+1)+

a

x

曲线y=f（x）在（2，f（2））处切线的斜率为-1，
所以f'（2）=-1即2-(a+1)+

a

2

=-1，解得a=4
（2）f′(x)=x-(a+1)+

a

x

=

x2-(a+1)x+a

x

=

(x-1)(x-a)

x

①当0＜a＜1时，
当x∈（0，a）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈（a，1）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增．
此时x=a是f（x）的极大值点，x=1是f（x）的极小值点．
②当a=1时，
当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，
当x=1时，f'（x）=0，
当∈（1，+∞）时，f'（x）＞0
所以函数f（x）在定义域内单调递增，此时f（x）没有极值点．
③当a＞1时，当x∈（0，1）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；
当x∈（a，1）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（a，+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增．
此时x=1是f（x）的极大值点，x=a是f（x）的极小值点．
综上，当0＜a＜1时，x=a是f（x）的极大值点，x=1是f（x）的极小值点；
当a=1时，f（x）没有极值点；
当a＞1时，x=1是f（x）的极大值点，x=1是f（x）的极小值点