Question

给定椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为

a2+b2

的圆是椭圆C的“伴随圆”．若椭圆C的一个焦点为F1(

2

，0)，其短轴上的一个端点到F₁的距离为

3

．
（1）求椭圆C的方程及其“伴随圆”方程；
（2）若倾斜角为45°的直线l与椭圆C只有一个公共点，且与椭圆C的伴随圆相交于M、N两点，求弦MN的长；
（3）点P是椭圆C的伴随圆上的一个动点，过点P作直线l₁，l₂，使得l₁，l₂与椭圆C都只有一个公共点，求证：l₁⊥l₂．

Answer 1

分析：（1）直接由椭圆C的一个焦点为F1(

2

，0)，其短轴上的一个端点到F₁的距离为

3

，求出，即可求椭圆C的方程及其“伴随圆”方程；
（2）先把直线方程与椭圆方程联立，利用对应的判别式为0求出，进而求出直线方程以及圆心到直线的距离；即可求弦MN的长；
（3）先对直线l₁，l₂的斜率是否存在分两种情况讨论，然后对每一种情况中的直线l₁，l₂与椭圆C都只有一个公共点进行求解即可证：l₁⊥l₂．（在斜率存在时，是先设直线方程，把直线与椭圆方程联立，利用斜率为对应方程的根来判断结论）．

解答：解：（1）因为c=

2

，a=

3

，所以b=1（12分）
所以椭圆的方程为

x2

3

+y2=1，
伴随圆的方程为x²+y²=4．（4分）
（2）设直线l的方程y=x+b，由

y=x+b x2 3 +y2=1

得4x²+6bx+3b²-3=0
由△=（6b）²-16（3b²-3）=0得b²=4（6分）
圆心到直线l的距离为d=

|b|

2

=

2

所以|MN|=2

r2-d2

=2

2

（8分）
（3）①当l₁，l₂中有一条无斜率时，不妨设l₁无斜率，
因为l₁与椭圆只有一个公共点，则其方程为x=

3

或x=-

3

，
当l₁方程为x=

3

时，此时l₁与伴随圆交于点(

3

，1)，(

3

，-1)，
此时经过点(

3

，1)（或

3

，-1)且与椭圆只有一个公共点的直线是y=1（或y=-1），
即l₂为y=1（或y=-1），显然直线l₁，l₂垂直；
同理可证l₁方程为x=-

3

时，直线l₁，l₂垂直．（10分）
②当l₁，l₂都有斜率时，设点P（x₀，y₀），其中x₀²+y₀²=4，
设经过点P（x₀，y₀），与椭圆只有一个公共点的直线为y=k（x-x₀）+y₀，
由

y=kx+(y0-kx0) x2 3 +y2=1

，消去y得到x²+3（kx+（y₀-kx₀））²-3=0，
即（1+3k²）x²+6k（y₀-kx₀）x+3（y₀-kx₀）²-3=0，（12分）
△=[6k（y₀-kx₀）]²-4•（1+3k²）[3（y₀-kx₀）²-3]=0，
经过化简得到：（3-x₀²）k²+2x₀y₀k+1-y₀²=0，
因为x₀²+y₀²=4，所以有（3-x₀²）k²+2x₀y₀k+（x₀²-3）=0，（14分）
设l₁，l₂的斜率分别为k₁，k₂，因为l₁，l₂与椭圆都只有一个公共点，
所以k₁，k₂满足方程（3-x₀²）k²+2x₀y₀k+（x₀²-3）=0，
因而k₁•k₂=-1，即l₁，l₂垂直．（16分）

点评：本题主要考查椭圆的方程和几何性质，直线的方程，两点间的距离公式以及点到直线的距离公式等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的数学思想，考查解决问题的能力和运算能力．