题目内容

已知函数，，构造函数，定义如下：

    当时，；当时，，那么（    ）

      A．有最大值3，最小值1           B． 有最大值7，无最小值

  C．有最大值3，无最小值                D．无最大值，也无最小值

 

【答案】

B

【解析】解：根据题意可知函数是一个分段函数，那么分段函数的最值就是各段最值的并集，因此可以分别解得为，选B

 

练习册系列答案
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已知函数f（x）=
1a-x
-1（其中a为常数，x≠a）．利用函数y=f（x）构造一个数列{xn}，方法如下：
对于给定的定义域中的x1，令x2=f（x1），x3=f（x2），…，xn=f（xn-1），…
在上述构造过程中，如果xi（i=1，2，3，…）在定义域中，那么构造数列的过程继续下去；如果xi不在定义域中，那么构造数列的过程就停止．
（Ⅰ）当a=1且x1=-1时，求数列{xn}的通项公式；
（Ⅱ）如果可以用上述方法构造出一个常数列，求a的取值范围；
（Ⅲ）是否存在实数a，使得取定义域中的任一实数值作为x1，都可用上述方法构造出一个无穷数列{xn}？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

已知函数f(x)=ex-ax，其中a＞0.

（1）若对一切x∈R，f(x) 1恒成立，求a的取值集合；

（2)在函数f(x)的图像上去定点A（x1, f(x1)）,B(x2, f(x2))(x1<x2)，记直线AB的斜率为k，证明：存在x0∈（x1,x2）,使恒成立.

【解析】解：令.

当时单调递减；当时单调递增，故当时，取最小值

于是对一切恒成立，当且仅当.　　　　　　　　①

令则

当时，单调递增；当时，单调递减.

故当时，取最大值.因此，当且仅当时，①式成立.

综上所述，的取值集合为.

（Ⅱ）由题意知，令则

令，则.当时，单调递减；当时，单调递增.故当，即

从而，又

所以因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在使即成立.

【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出取最小值对一切x∈R，f(x) 1恒成立转化为从而得出求a的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题，通过构造函数，研究这个函数的性质进行分析判断.

 

已知函数，，构造函数，定义如下：当时，，当时，，那么           （    ）

A．有最小值0，无最大值

B．有最小值－1，无最大值

C．有最大值1，无最小值

D．无最小值，也无最大值

 

已知函数，，构造函数，定义如下：当时，；当时，，那么              

     A．有最大值3，最小值－1         B． 有最大值7，无最小值

C．有最大值3，无最小值           D．无最大值，也无最小值

 

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