Question

已知n是正整数，数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{na_n}的前n项和为T_n．对任何正整数n，等式S_n=-a_n+

1

2

（n-3）都成立．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）求T_n；
（III）设A_n=2T_n，B_n=（2n+4）S_n+3，比较A_n与B_n的大小．

Answer 1

（I） 当n=1时，由sn=-an+

1

2

(n-3)的S1=a1=-a1+

1

2

(1-3)，
解得a1= -

1

2

…2分
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-an+

1

2

(n-3)-[-an-1+

1

2

(n-4)]
解得 an=

1

2

an-1+

1

4

，即an-

1

2

=

1

2

(an-1-

1

2

)
因此，数列{an-

1

2

}是首项为-1，公比为

1

2

的等比数列
∴an-

1

2

=(-1)•(

1

2

)n-1，
即an=

1

2

-

1

2n-1

，…7分
∴数列{an}的通项公式为an=

1

2

-

1

2n-1

．
（II）∵nan=

n

2

-n•

1

2n-1

，
∴Tn=

1

2

(1+2+3+…+n)-(1+2×

1

2

+3×

1

22

+…+n×

1

2n-1

)…6分
令Un= 1+2×

1

2

+3×

1

22

+…+n×

1

2n-1

．
则

1

2

Un= 

1

2

+2×

1

22

+3×

1

23

+…+n×

1

2n

．
上面两式相减：

1

2

Un= 1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-n×

1

2n

=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-n•

1

2n

，即Un=4-

n+2

2n-1

．
∴Tn =

n(n+1)

4

-4+ 

n+2

2n-1

=

n2+n-16

4

+

n+2

2n-1

…8分            
 （III）∵S_n=-a_n+

n-3

2

=-

1

2

+

1

2n-1

+

n-3

2

=

n-4

2

+

1

2n-1

，
∴An-Bn=

n2+n-16

2

+

n+2

2n-2

-

(2n+4)(n-4)

2

-

n+2

2n-2

-3
=

-n2+5n-6

2

…10分
∵当n=2或n=3时，

-n2+5n-6

2

的值最大，最大值为0，
∴A_n-B_n≤0．
因此，当n是正整数时，A_n≤B_n．…12分