Question

数列{a_n}前n项和记为S_n，且a_n＞0，Sn=

1

8

(an+2)2(n∈N*)
（1）求数列{a_n}通项公式a_n
（2）若b_n满足bn=(t-1)

an+2

4

(t＞1)，T_n为数列{b_n}前n项和，求：T_n
（3）在（2）的条件下求

lim

n→∞

Tn

Tn+1

．

Answer 1

分析：（1）利用已知表达式，写出n-1时的表达式，通过作差，利用数列是正数数列，判断数列{a_n}是等差数列，然后求出通项公式a_n
（2）利用（1）化简bn=(t-1)

an+2

4

(t＞1)，判断数列是等比数列，然后求解数列{b_n}前n项和T_n
（3）在（2）的条件下求

lim

n→∞

Tn

Tn+1

．通过t的范围讨论，利用数列极限 运算法则求解即可．

解答：解：（1）Sn=

1

8

(an+2)2可得Sn-1=

1

8

(an-1+2)2，n≥2．
两式作差可得：8an=an2+4an-an-12-4an-1，
即：（a_n-a_n-1-4）（a_n+a_n-1）=0，
∵数列{a_n}中，a_n＞0，
∴a_n-a_n-1-4=0，
∴{a_n}是等差数列．又a₁=S1=

1

8

(a1+2)2，
解得a₁=2．
∴a_n=2+（n-1）×4=4n-2．
数列{a_n}通项公式a_n=4n-2．
（2）若b_n满足bn=(t-1)

an+2

4

(t＞1)，
∴bn=(t-1)

4n-2+2

4

=（t-1）ⁿ．
数列{b_n}是首项为t-1，公比为t-1的等比数列，
T_n=

(t-1)[1-(t-1)n]

1-t+1

=

(t-1)[1-(t-1)n]

-t

．
（3）

Tn

Tn+1

=

(t-1)[1-(t-1)n] -t

(t-1)[1-(t-1)n+1] -t

=

1-(t-1)n

1-(t-1)n+1

，

lim

n→∞

Tn

Tn+1

=

lim

n→∞

1-(t-1)n

1-(t-1)n+1

．
当t∈（1，2]时，t-1∈（0，1]，

lim

n→∞

Tn

Tn+1

=

lim

n→∞

1-(t-1)n

1-(t-1)n+1

=1．
当t∈（2，+∞）时，t-1∈（1，+∞），

lim

n→∞

Tn

Tn+1

=

lim

n→∞

1-(t-1)n

1-(t-1)n+1

=

lim

n→∞

1-(t-1)n (t-1)n+1

1-(t-1)n+1 (t-1)n+1

=

1

t-1

．

点评：本题考查数列的递推关系式以及数列的判断，通项公式的求法，数列极限的求法，考查转化思想以及计算能力．