题目内容

已知为两个正数，且，设当，时，．

（Ⅰ）求证：数列是递减数列，数列是递增数列；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）是否存在常数使得对任意，有，若存在，求出的取值范围；若不存在，试说明理由．

(Ⅰ)证明：易知对任意，，．

由可知即．

同理，，即．

可知对任意，．

，

所以数列是递减数列．

，

所以数列是递增数列．                   ……………………5分

(Ⅱ)证明：．

                                                          ……………………10分

（Ⅲ）解：由，可得．

若存在常数使得对任意，有，

则对任意，．

即对任意成立．

即对任意成立．

设表示不超过的最大整数，则有．

即当时，．

与对任意成立矛盾．

所以，不存在常数使得对任意，有． ……14分

练习册系列答案
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（2011•东城区二模）已知a，b为两个正数，且a＞b，设a1=
a+b
2
，b1=
ab
，当n≥2，n∈N*时，an=
an-1+bn-1
2
，bn=
an-1bn-1
．
（Ⅰ）求证：数列{an}是递减数列，数列{bn}是递增数列；
（Ⅱ）求证：an+1-bn+1＜
1
2
（an-bn）；
（Ⅲ）是否存在常数C＞0使得对任意n∈N*，有|an-bn|＞C，若存在，求出C的取值范围；若不存在，试说明理由．

已知a，b为两个正数，且a>b，设，当n≥2，n∈N*时，。
（1）求证：数列{an}是递减数列，数列{bn}是递增数列；
（2）求证：an+1-bn+1＜；
（3）是否存在常数C>0，使得对任意n∈N*，有|an-bn|>C，若存在，求出C的取值范围；若不存在，试说明理由。

（本小题满分14分）已知为两个正数，且，设当，时，．

（Ⅰ）求证：数列是递减数列，数列是递增数列；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）
已知a，b为两个正数，且a＞b，设a1=，b1=，当n≥2，n∈N*时，an=，bn=．
（Ⅰ）求证：数列{an}是递减数列，数列{bn}是递增数列；
（Ⅱ）求证：an+1-bn+1＜（an-bn）；
（Ⅲ）是否存在常数C＞0使得对任意n∈N*，有|an-bn|＞C，若存在，求出C的取值范围；若不存在，试说明理由．