Question

已知函数f（x）=

2

3

x3- 

a

2

x2-2a2x+1
（Ⅰ）求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象与直线y=0恰有三个交点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值点，从而求出极值；
（II）先求出极大值与极小值，要使函数y=f（x）的图象与值线y=0恰有三个交点，则函数y=f（x）的极大值大于零，极小值小于零即可．

解答：解：（I）f′（x）=x²-ax-2a²，令f′（x）=x²-ax-2a²=0，则  x=-a或x=2a
f′（x）=x²-ax-2a²＞0时，x＜-a或x＞2a
∴当x＜-a时，f′（x）＞0，当-a＜x＜2a时，f′（x）＜0，当x＞2a时，f′（x）＞0
∴x=-a时，f（x）取得极大值f（-a）=

7

6

a3+1，
x=2a时，f（x）取极小值f（2a）=-

10

3

a3+1
（II）要使函数y=f（x）的图象与值线y=0恰有三个交点，则函数y=f（x）的极大值大于零，极小值小于零，
由（1）的极值可得

7 6 a3 +1＞0 - 10 3 a3+1＜0

解之得 a＞

3	3 10

=

3 300

10

∴实数a的取值范围是（

3 300

10

，+∞）

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及函数图象的性质，属于中档题．