Question

（01全国卷文）(14分)

       设f (x) 是定义在R上的偶函数，其图像关于直线x = 1对称．对任意x₁，x₂∈都有f (x₁＋x₂) = f (x₁) ? f (x₂)．

       (Ⅰ)求及；

(Ⅱ)证明f (x) 是周期函数；

Answer 1

解析：(Ⅰ)解：由f (x₁＋x₂) = f (x₁) ? f (x₂)，x₁ x₂∈[0，]知

          f () ? f ()≥0，x∈[0，1]．                            ――2分

∵ f () = f () ? f () = [f ()]²，

          ，

∴ f ()．                                                  ――5分

∵ f ()，

                f ()，

∴ f ()．                                                  ――8分

（Ⅱ）证明：依题设y = f (x)关于直线x = 1对称，

故 f (x) = f (1＋1－x)，

即f (x) = f (2－x)，x∈R．                                            ――11分

又由f (x)是偶函数知f (－x) = f (x) ，x∈R，

∴ f (－x) = f (2－x) ，x∈R，

将上式中－x以x代换，得

f (x) = f (x＋2)，x∈R．

这表明f (x)是R上的周期函数，且2是它的一个周期．                  ――14分