Question

已知数列{a_n}的前n项和Sn=n2+2n，数列{b_n}是正项等比数列，且满足a₁=2b₁，b3(a3-a1)=b1，n∈N*．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）记cn=

1

Sn

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）即可求数列{a_n}的通项公式，（注意检验首项是否适合）；再代入a₁=2b₁，b₃（a₃-a₁）=b₁，即可求{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）先整理出数列{c_n}的通项公式，再利用叠加法，即可求数列{c_n}的前n项和T_n．

解答：解：（Ⅰ）∵数列{a_n}前n项的和S_n=n²+2n，∴a_n=S_n-S_n-1=2n+1（n∈N^*，n≥2）
∵a₁=S₁=3，∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2n+1（n∈N^*）
∵数列{b_n}是正项等比数列，b₁=

1

2

a₁=

3

2

，a₃-a₁=4，
∵b₃（a₃-a₁）=b₁，∴

b3

b1

=

1

a3-a1

=

1

4

，∴公比为

1

2

，
数列{b_n}的通项公式为b_n=

3

2

•(

1

2

)n-1=3•(

1

2

)n；
（Ⅱ）cn=

1

Sn

=

1

n2+2n

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

）
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

）=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=

3n2+5n

4(n+1)(n+2)

点评：本题考查数列的通项与求和，考查裂项法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．