Question

已知角A、B、C是△ABC 的内角，a，b，c 分别是其对边长，向量

m

=(2

3

sin

A

2

，cos2

A

2

)，

n

=(cos

A

2

，-2)，

m

⊥

n

，且a=2，cosB=

3

3

．则b=

4 2

3

．

Answer 1

分析：根据两向量垂直时数量积为0，利用平面向量的数量积的运算法则化简

m

⊥

n

=0，利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，提取2后，利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，由A的范围求出此角的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；由B的范围及cosB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，然后由a，sinA及sinB的值，利用正弦定理求出b的值即可．

解答：解：∵

m

⊥

n

，
∴

m

•

n

=(2

3

sin

A

2

，cos2

A

2

)•(cos

A

2

，-2)=

3

sinA+(cosA+1)×(-1)=0，
∴

3

sinA-cosA=1，（4分）
∴sin(A-

π

6

)=

1

2

，（6分）
∵0＜A＜π，∴-

π

6

＜A-

π

6

＜

5π

6

，
∴A-

π

6

=

π

6

，（8分）∴A=

π

3

；（9分）
在△ABC中，A=

π

3

，a=2，cosB=

3

3

，
∴sinB=

1-cos2B

=

1- 1 3

=

6

3

，（10分）
由正弦定理知：

a

sinA

=

b

sinB

，（11分）
∴b=

asinB

sinA

═

2× 6 3

3 2

=

4 2

3

．
∴b=

4 2

3

．（13分）

点评：此题综合考查了平面向量的数量积的运算法则，三角函数的恒等变换及正弦定理．要求学生掌握平面向量垂直时满足的关系及正弦函数的值域，牢记特殊角的三角函数值．