Question

已知角A，B，C是△ABC的内角，向量

m

=（1，

3

），

n

=（sin（π-A）），sin（A-

π

2

）），

m

⊥

n

．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求函数y=2sin²B+cos（

π

3

-2B）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据向量垂直的性质求得sinA-

3

cosA=0，求得tanA的值，进而根据A的范围求得A．
（Ⅱ）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简整理利用B的范围和正弦函数的性质求得函数的值域．

解答：解：（Ⅰ）因为

n

=（sinA，-cosA），且

m

⊥

n

，
所以

m

•

n

=sinA-

3

cosA=0，
则tanA=

3

，又A∈（0，π），所以A=

π

3

；
（Ⅱ）因为y=(1-cos2B)+(

1

2

cos2B+

3

2

sin2B)
=1+

3

2

sin2B-

1

2

cos2B
=1+sin(2B-

π

6

)
而A=

π

3

，所以0＜B＜

2π

3

，
则-

π

6

＜2B-

π

6

＜

7π

6

，所以sin(2B-

π

6

)∈(-

1

2

，1]
故所求函数的值域为y∈(

1

2

，2]．

点评：本题主要考查了三角函数的化简求值，向量的基本运算．考查了基础知识的综合运用．