Question

如图，曲线C₁是以原点O为中心，F₁、F₂为焦点的椭圆的一部分，曲线C₂是以原点O为顶点，F₂为焦点的抛物线的一部分，是曲线C₁和C₂的交点．
（Ⅰ）求曲线C₁和C₂所在的椭圆和抛物线的方程；
（Ⅱ）过F₂作一条与x轴不垂直的直线，分别与曲线C₁、C₂依次交于B、C、D、E四点，若G为CD中点，H为BE中点，问是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设曲线C₂所在的抛物线的方程为y²=2px，将代入可得p的值，利用椭圆的定义，可得曲线C₁所在的椭圆的方程；
（Ⅱ）设B（x₁，y₁），E（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），过F₂与x轴不垂直的直线为x=ty+1，与椭圆方程联立，利用韦达定理可得，同理可得，进而可得为定值．
解答：解：（Ⅰ）设曲线C₂所在的抛物线的方程为y²=2px，将代入可得6=2p×，∴p=2
∴曲线C₂所在的抛物线方程为：y²=4x…（2分）
∴，
∴曲线C₁所在的椭圆的方程为…（4分）
（Ⅱ）设B（x₁，y₁），E（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），过F₂与x轴不垂直的直线为x=ty+1，与椭圆方程联立，消去x可得（9+8t²）y²+16ty-64=0，
∴，…（6分）
∴
直线x=ty+1，与抛物线方程联立，消去x可得y²-4ty-4=0，∴y₃+y₄=4t，y₃y₄=-4…（8分）
∴
∴=
即为定值3．…（14分）
点评：本题考查椭圆、抛物线的标准方程，考查直线与椭圆、抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，联立方程，正确运用韦达定理是关键．